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<refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"
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    <refnamediv>
        <refname>splin</refname>
        <refpurpose>interpolação por spline cúbico</refpurpose>
    </refnamediv>
    <refsynopsisdiv>
        <title>Seqüência de Chamamento</title>
        <synopsis>
            d = splin(x, y)
            d = splin(x, y, spline_type)
            d = splin(x, y, spline_type, der)
        </synopsis>
    </refsynopsisdiv>
    <refsection>
        <title>Parâmetros</title>
        <variablelist>
            <varlistentry>
                <term>x</term>
                <listitem>
                    <para>um vetor (linha ou coluna) estritamente crescente (x deve ter
                        pelo menos dois componentes)
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>y</term>
                <listitem>
                    <para>
                        um vetor com o mesmo formato que <literal>x</literal>
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>spline_type</term>
                <listitem>
                    <para>(opcional) um string selecionando o tipo de spline a ser
                        computado
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>der</term>
                <listitem>
                    <para>(optional) um vetor com dois componentes, com as derivadas nas
                        extremidades (a ser fornecido quando spline_type="clamped")
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>d</term>
                <listitem>
                    <para>
                        vetor com o mesmo formato que <literal>x</literal>
                        (<literal>di</literal> é a derivada do spline em
                        <literal>xi</literal>)
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
        </variablelist>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Descrição</title>
        <para>Esta função computa o spline cúbico ou sub-spline
            <emphasis>s</emphasis> que interpola os pontos
            <emphasis>(xi,yi)</emphasis> i.e., temos <emphasis>s(xi)=yi</emphasis>
            para todo <emphasis>i=1,..,n</emphasis>. O spline resultante s é
            completamente definido pela tripla <literal>(x,y,d)</literal> onde
            <literal>d</literal> é o vetor com as derivadas nos <literal>xi</literal>:
            <emphasis>s'(xi)=di</emphasis> (esta forma é chamada de forma de
            <emphasis>Hermite ou hermitiana</emphasis> ). A avaliação do spline em
            alguns pontos deve ser feita pela função <link linkend="interp">interp</link>.
            Vários tipos de splines podem ser  computados selecionando o parâmetro
            <literal>spline_type</literal> apropriado:
        </para>
        <variablelist>
            <varlistentry>
                <term>"not_a_knot"</term>
                <listitem>
                    <para>este é o caso padrão, o spline cúbico é computado sob as
                        seguintes condições (considerando n pontos x1,...,xn):
                    </para>
                    <para>
                        <latex fontsize="18" alt="s′′′(x₂⁻)=s′′′(x₂⁺), s′′′(x{n-1}⁻)=s′′′(x{n-1}⁺)">
                            s'''(x_2^-) = s'''(x_2^+) \\
                            s'''(x_{n-1}^-) = s'''(x_{n-1}^+)
                        </latex>
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>"clamped"</term>
                <listitem>
                    <para>neste caso, o spline cúbico é computado usando derivadas nas
                        extremidades do intervalo que devem ser fornecidas como último
                        argumento <literal>der</literal>:
                    </para>
                    <para>
                        <table align="center">
                        <tr align="center"><td><emphasis>s'(x<subscript>1</subscript>) = der(1)</emphasis></td></tr>
                        <tr align="center"><td><emphasis>s'(x<subscript>n</subscript>) = der(2)</emphasis></td></tr>
                        </table>
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>"natural"</term>
                <listitem>
                    <para>o spline cúbico é computado sob as seguintes condições:</para>
                    <para>
                        <table align="center">
                        <tr align="center"><td><emphasis>s''(x<subscript>1</subscript>) = 0</emphasis></td></tr>
                        <tr align="center"><td><emphasis>s''(x<subscript>n</subscript>) = 0</emphasis></td></tr>
                        </table>
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>"periodic"</term>
                <listitem>
                    <para>
                        um spline cúbico periódico é computado (<literal>y</literal>
                        deve verificar <emphasis>y1=yn</emphasis>) sob as seguintes
                        condições:
                    </para>
                    <para>
                        <table align="center">
                        <tr align="center">
                            <td>
                            <emphasis>s'(x<subscript>1</subscript>) = s'(x<subscript>n</subscript>)</emphasis>
                            </td>
                        </tr>
                        <tr align="center">
                            <td>
                            <emphasis>s''(x<subscript>1</subscript>) = s''(x<subscript>n</subscript>)</emphasis>
                            </td>
                        </tr>
                        </table>
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>"monotone"</term>
                <listitem>
                    <para>
                        neste caso, um sub-spline (<emphasis>s</emphasis> é apenas uma
                        vez continuamente diferenciável) é computado usando um esquema local
                        para os <emphasis>di</emphasis> tais que s é monótono em cada
                        intervalo:
                    </para>
                    <para>
                        <itemizedlist>
                            <listitem>
                                If y(i) ≤ y(i+1), s is increasing on <literal>[x(i), x(i+1)]</literal>.
                            </listitem>
                            <listitem>
                                If y(i) ≥ y(i+1), s is increasing on <literal>[x(i), x(i+1)]</literal>.
                            </listitem>
                        </itemizedlist>
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>"fast"</term>
                <listitem>
                    <para>neste caso, um sub-spline também é computado usando um esquema
                        local simples para os <emphasis>di</emphasis> : d(i) é a derivada em
                        x(i) da interpolação polinomial (x(i-1),y(i-1)),
                        (x(i),y(i)),(x(i+1),y(i+1)), exceto pelas extremidades (d1 sendo
                        computado a partir dos 3 pontos mais à esquerda e dn dos 3 pontos
                        mais à direita).
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>"fast_periodic"</term>
                <listitem>
                    <para>é o mesmo que o anterior, mas também usa uma fórmula centrada
                        para <emphasis>d1 = s'(x1) = dn = s'(xn)</emphasis> através da
                        periodicidade da função subjacente (<literal>y</literal> deve
                        verificar <emphasis>y1=yn</emphasis>).
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
        </variablelist>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Observações </title>
        <para>De um ponto de vista de precisão, use essencialmente o tipo
            <emphasis role="bold">clamped</emphasis> se você conhece as derivadas nas
            extremidades, de outro modo, use <emphasis role="bold">not_a_knot</emphasis>.
            Mas se a função subjacente aproximada é periódica, use o tipo
            <emphasis role="bold">periodic</emphasis> Sob boas suposições, estes tipos de spline
            têm um comportamento assintótico <literal>O(h^4)</literal> do erro.
            Não use o tipo <emphasis role="bold">natural</emphasis> a não ser que a função
            subjacente possua zero derivadas segundas nas extremidades.
        </para>
        <para>
            Os tipos <emphasis role="bold">monotone</emphasis>, <emphasis role="bold">fast</emphasis>
            (ou <emphasis role="bold">fast_periodic</emphasis>) podem ser úteis e alguns caso, por
            exemplo, para limitar oscilações (estes tipos de sub-splines têm um
            comportamento assintótico <literal>O(h^3)</literal> do erro).
        </para>
        <para>
            Se <emphasis>n=2</emphasis> (e <literal>spline_type</literal> não é
            <emphasis role="bold">clamped</emphasis>) é usada interpolação linear. Se
            <emphasis>n=3</emphasis> e <literal>spline_type</literal> é
            <emphasis role="bold">not_a_knot</emphasis>, então, um sub-spline tipo
            <emphasis role="bold">fast</emphasis> é computado, na verdade.
        </para>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Exemplos</title>
        <programlisting role="example"><![CDATA[
// exemplo 1
deff("y=runge(x)","y=1 ./(1 + x.^2)")
a = -5; b = 5; n = 11; m = 400;
x = linspace(a, b, n)';
y = runge(x);
d = splin(x, y);
xx = linspace(a, b, m)';
yyi = interp(xx, x, y, d);
yye = runge(xx);
clf()
plot2d(xx, [yyi yye], style=[2 5], leg="interpolação por@função exata")
plot2d(x, y, -9)
xtitle("Intepolação da função de Runge")

// exemplo 2 : mostra comportamento de splines diferentes em dados aleatórios
a = 0; b = 1;        // intervalo de interpolação
n = 10;              // número de pontos de interpolação
m = 800;             // discretização para avaliação
x = linspace(a,b,n)'; // abscissas dos pontos de interpolação
y = rand(x);          // ordenadas dos pontos de interpolação
xx = linspace(a,b,m)';
yk = interp(xx, x, y, splin(x,y,"not_a_knot"));
yf = interp(xx, x, y, splin(x,y,"fast"));
ym = interp(xx, x, y, splin(x,y,"monotone"));
clf()
plot2d(xx, [yf ym yk], style=[5 2 3], strf="121", ...
       leg="fast@monotone@spline not a knot")
plot2d(x,y,-9, strf="000")  // para mostrar pontos de interpolação
xtitle("Vários splines e sub-splines em dados aleatórios")
show_window()
 ]]></programlisting>
    </refsection>
    <refsection role="see also">
        <title>Ver Também</title>
        <simplelist type="inline">
            <member>
                <link linkend="interp">interp</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="lsq_splin">lsq_splin</link>
            </member>
        </simplelist>
    </refsection>
</refentry>
