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<refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"
          xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:ns5="http://www.w3.org/1999/xhtml"
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          xml:id="lsq_splin" xml:lang="ja">
    <refnamediv>
        <refname>lsq_splin</refname>
        <refpurpose>重み付き最小二乗三次スプラインフィッティング</refpurpose>
    </refnamediv>
    <refsynopsisdiv>
        <title>呼び出し手順</title>
        <synopsis>
            [y, d] = lsq_splin(xd, yd, x)
            [y, d] = lsq_splin(xd, yd, wd, x)
        </synopsis>
    </refsynopsisdiv>
    <refsection>
        <title>パラメータ</title>
        <variablelist>
            <varlistentry>
                <term>xd, yd</term>
                <listitem>
                    <para>同じ大きさのベクトル, 3次スプラインによりフィッティング
                        するデータ
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>wd</term>
                <listitem>
                    <para>
                        (オプション) <literal>xd</literal>
                        および <literal>yd</literal>の形式のベクトルで,
                        最小二乗フィッティングの重み.
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>x</term>
                <listitem>
                    <para>単調増加の (行または列) ベクトル,
                        3次スプラインの折点
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>y, d</term>
                <listitem>
                    <para>
                        <literal>x</literal>と同じ大きさのベクトル,
                        近似3次スプラインを定義する組(x,y,d).
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
        </variablelist>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>説明</title>
        <para>
            この関数は,データ<literal>xd, yd, wd</literal>
            (以下では,<emphasis>m</emphasis>をこれらのベクトルの長さと
            仮定します)および
            スプライン折点<literal>x</literal>
            (例えばn個の等間隔折点を選択したい場合には
            <literal>x=linspace(min(xd),max(xd),n))</literal>とする
            ことができます)
            に関して
            近似3次スプライン<emphasis>s</emphasis>を計算します.
            <emphasis>S</emphasis>を折点
            <emphasis>x1 &lt; x2 &lt; ... &lt; xn</emphasis>を指定する
            あらゆる3次スプライン関数の空間とする場合,
            得られるスプライン <emphasis>s</emphasis>は次のようになります:
        </para>
        <para>
            <latex style="display" fontsize="18" alt="∑_k=1→m wd(k).[s(xd(k))-yd(k)]² ⬅ ∑_k=1→m wd(k).[f(xd(k))-yd(k)]²">
                \sum_{k=1}^m wd(k)\left(s(xd(k))-yd(k)\right)^2 \,\leftarrow\,
                \sum_{k=1}^m wd(k)\left(f(xd(k))-yd(k)\right)^2
            </latex>
        </para>
        <para>
            ただし,<emphasis>fはSの中の任意の値</emphasis>.
            すなわち,<emphasis>S</emphasis>の任意の関数について,
            二乗誤差の合計を最小化します.
        </para>
        <para>
            スプライン<emphasis>s</emphasis>は
            組<literal>(x,y,d)</literal>により完全に定義されます
            (<literal>y</literal> および <literal>d</literal>
            は,xiにおけるスプライン座標および1階微分のベクトル
            です : <emphasis>yi=s(xi)</emphasis> および
            <emphasis>di=s'(xi)</emphasis>) .
            何らかの点における評価は,
            <link linkend="interp">interp</link>関数で行います.
        </para>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>注意</title>
        <para>
            <literal>wd</literal>が指定されない場合, 全ての点は
            同じ重み1を有します.
        </para>
        <para>
            <emphasis>xd(k) が [x1,xn] の範囲で,wd(k) &gt; 0</emphasis>の場合,
            点 <emphasis>(xd(k),yd(k))</emphasis> は,
            フィットの範囲にあるとみなされます.
            特に,
            フィッティングにおいて無視したいデータ点に重み0 (または負の重み)
            を設定することができます.
            フィット処理が適用される点の総数が4個未満の場合,
            エラーが発生します.
        </para>
        <para>
            ベクトル <literal>xd</literal> は昇順である必要は
            ありません.
        </para>
        <para>
            数,<emphasis>xd(k)</emphasis>の位置,
            <emphasis>x(i)</emphasis>の選択に基づき
            いくつかの解が存在しますが,
            選択できるのは1つだけです.
            この場合,Scilabコマンドウインドウに警告メッセージが
            発生します.
            この関数は,<emphasis>m</emphasis>が<emphasis>n</emphasis>よりも
            はるかに大きい場合に使用されることを意図しています.
            このような場合,このような問題は発生しません.
        </para>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>例</title>
        <programlisting role="example"><![CDATA[
// これは人工的な例で,データxdおよびydは
// 外乱付きのsin関数から構築されます
a = 0; b = 2*%pi;
sigma = 0.1;  // ガウスノイズの標準偏差
m = 200;       // 試行点の数
xd = linspace(a,b,m)';
yd = sin(xd) + grand(xd,"nor",0,sigma);
n = 6; // 折点の数
x = linspace(a,b,n)';
// スプラインを計算
[y, d] = lsq_splin(xd, yd, x);  // 等しい重みを使用
// プロット
ye = sin(xd);
ys = interp(xd, x, y, d);
clf()
plot2d(xd,[ye yd ys],style=[2 -2 3], ...
       leg="exact function@experimental measures (gaussian perturbation)@fitted spline")
xtitle("a least square spline")
show_window()
 ]]></programlisting>
    </refsection>
    <refsection role="see also">
        <title>参照</title>
        <simplelist type="inline">
            <member>
                <link linkend="backslash">backslash</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="datafit">datafit</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="interp">interp</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="splin">splin</link>
            </member>
        </simplelist>
    </refsection>
</refentry>
