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<refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:db="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:scilab="http://www.scilab.org" xml:lang="fr" xml:id="qr">
    <refnamediv>
        <refname>qr</refname>
        <refpurpose>factorisation QR  </refpurpose>
    </refnamediv>
    <refsynopsisdiv>
        <title>Séquence d'appel</title>
        <synopsis>[Q,R]=qr(X [,"e"])
            [Q,R,E]=qr(X [,"e"])
            [Q,R,rk,E]=qr(X [,tol])
        </synopsis>
    </refsynopsisdiv>
    <refsection>
        <title>Paramètres</title>
        <variablelist>
            <varlistentry>
                <term>X  </term>
                <listitem>
                    <para>matrice réelle ou complexe
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>tol  </term>
                <listitem>
                    <para>nombre réel positif
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>Q  </term>
                <listitem>
                    <para>matrice carrée unitaire
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>R  </term>
                <listitem>
                    <para>
                        matrice de même dimensions que <literal>X</literal>
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>E  </term>
                <listitem>
                    <para>matrice de permutation
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>rk  </term>
                <listitem>
                    <para>
                        entier (rang de <literal>X</literal>)
                    </para>
                </listitem>
            </varlistentry>
        </variablelist>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Description</title>
        <para>
            <literal>[Q,R] = qr(X)</literal> renvoie une matrice triangulaire supérieure
            <literal>R</literal> de même
            dimensions que <literal>X</literal> et une matrice carrée othogonale
            (unitaire dans le cas complexe) <literal>Q</literal> telles que
            <literal>X = Q*R</literal>.

            <literal>[Q,R] = qr(X,"e")</literal>  renvoie une decomposition de
            taille réduite: si <literal>X</literal> est une matrice <literal>m x
                n
            </literal>
            avec <literal>m &gt; n</literal> alors seulement les
            <literal>n</literal> premières colonnes de <literal>Q</literal> sont calculées
            ainsi que les <literal>n</literal> premières lignes de
            <literal>R</literal>.
        </para>
        <para>
            Il découle de <literal>Q*R = X</literal> que la
            <literal>k</literal>ième colonne de <literal>X</literal> peut s'exprimer comme
            une combinaison linéaire des <literal>k</literal> premieres colonnes de
            <literal>Q</literal> (avec les coefficients <literal>R(1,k), ...,
                R(k,k)
            </literal>
            .Les <literal>k</literal> premieres colonnes de
            <literal>Q</literal> forment une base orthogonale du sous espace généré
            par les Les <literal>k</literal> premieres colonnes de
            <literal>X</literal>. Si la colonne <literal>k</literal> de <literal>X</literal> est
            une combinaison linéaire des <literal>p</literal> premiéres colonnes de
            <literal>X</literal> alors les éléments <literal>R(p+1,k), ...,
                R(k,k)
            </literal>
            sont nuls. Dans cette situation <literal>R</literal> est
            une matrice trapézoidale supérieure. Si <literal>X</literal> est de rang
            <literal>rk</literal> alors les lignes  <literal>R(rk+1,:), R(rk+2,:),
                ...
            </literal>
            sont nulles.

        </para>
        <para>
            <literal>[Q,R,E] = qr(X)</literal> renvoie une matrice de permutations (de
            colonnes) <literal>E</literal>,
            une matrice triangulaire supérieure <literal>R</literal> dont les
            éléments diagonaux sont classés par ordre décroissant et une
            matrice unitaire <literal>Q</literal> telles que <literal>X*E = Q*R</literal>.
            si <literal>rk</literal> est le rang de <literal>X</literal> les
            <literal>rk</literal> premiers éléménts diagonaux de <literal>R</literal> sont
            tous non nuls. <literal>[Q,R,E] = qr(X,"e")</literal>  renvoie une decomposition de
            taille réduite: si <literal>X</literal> est une matrice <literal>m x
                n
            </literal>
            avec <literal>m &gt; n</literal> alors seulement les
            <literal>n</literal> premières colonnes de <literal>Q</literal> sont calculées
            ainsi que les <literal>n</literal> premières lignes de
            <literal>R</literal>.
        </para>
        <para>
            <literal>[Q,R,rk,E] = qr(X [,tol])</literal>renvoie de plus
            <literal>rk</literal> =rang estimé de <literal>X</literal>.
            Plus précisément,
            <literal>rk</literal> est le nombre d'éléments diagonaux de
            <literal>R</literal> supérieurs à <literal>tol</literal>. La valeur par défaut
            de <literal>tol</literal> est <literal>R(1,1)*%eps*max(size(R))</literal>
        </para>
        <para>
            renvoie <literal>rk</literal> = rang estimé de <literal>X</literal>. Ici,
            <literal>rk</literal> est le nombre d'éléments diagonaux de <literal>R</literal>
            supérieurs à <literal>R(1,1)*%eps*max(size(R)</literal>.
        </para>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Exemples</title>
        <programlisting role="example"><![CDATA[
// QR factorization, generic case
// X is tall (full rank)
X=rand(5,2);[Q,R]=qr(X); [Q'*X R]

//X is fat (full rank)
X=rand(2,3);[Q,R]=qr(X); [Q'*X R]

//Column 4 of X is a linear combination of columns 1 and 2:
X=rand(8,5);X(:,4)=X(:,1)+X(:,2); [Q,R]=qr(X); R, R(:,4)

//X has rank 2, rows 3 to $ of R are zero:
X=rand(8,2)*rand(2,5);[Q,R]=qr(X); R

//Evaluating the rank rk: column pivoting ==> rk first
//diagonal entries of R are non zero :
A=rand(5,2)*rand(2,5);
[Q,R,rk,E] = qr(A,1.d-10);
norm(Q'*A-R)
svd([A,Q(:,1:rk)])    //span(A) =span(Q(:,1:rk))
 ]]></programlisting>
    </refsection>
    <refsection role="see also">
        <title>Voir aussi</title>
        <simplelist type="inline">
            <member>
                <link linkend="rank">rank</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="svd">svd</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="rowcomp">rowcomp</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="colcomp">colcomp</link>
            </member>
        </simplelist>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Fonctions Utilisées</title>
        <para>La décomposition QR est basée sur les routines Lapack  DGEQRF, DGEQPF,
            DORGQR pour les matrices réelles et ZGEQRF, ZGEQPF, ZORGQR pour le cas
            complexe.
        </para>
    </refsection>
</refentry>
